Родился в селе Васильевка, ныне Ставропольского района Самарской области, в семье крестьянина. В 1932 году вместе с братом и сестрой перебрался в Нижний Новгород.

Окончил школу и фабрично-заводское училище, поступил учеником токаря на завод № 92 «Новое Сормово».

С ноября 1939 года - на службе в ВМФ СССР.

Участник Великой Отечественной войны.

19 августа 1941 года матрос Никонов при выполнении задания по разведке расположения войск противника в районе города Кейла получил в бою тяжёлое ранение и в бессознательном состоянии был схвачен врагом. Его подвергли пыткам, но это не дало результата. Тогда его привязали к дереву, облили бензином и заживо сожгли. 

Звание Героя Советского Союза было присвоено посмертно 3 сентября 1957 года. 

Первоначально был похоронен на хуторе Харку в Эстонии. 19 марта 1951 года горисполком Таллина принял решение переименовать одну из старых улиц города - Соо. Этим же постановлением было отведено место для сооружения памятника Никонову. Вскоре останки Никонова, покоившиеся на хуторе Харку, торжественно, со всеми почестями были перезахоронены в живописном месте Таллинского парка. Был установлен памятник. 

С распадом СССР и подъёмом националистических настроений в Эстонии памятник был разрушен, могила поругана. 5 мая 1992 года военно-транспортным самолётом прах Евгения Александровича Никонова был доставлен в Нижний Новгород. После торжественного прощания прах Героя был перезахоронен на его родине в Васильевке. 

Память: в Нижнем Новгороде у здания общеобразовательной школы № 68 (Московский район, улица 50 лет Победы, 24), установлен памятник Герою. На стене школы установлена памятная доска. Его именем названа улица в Московском районе Нижнего Новгорода.