Родился в городе Новозыбков, ныне Брянской области, в семье учительницы и агронома. В 1933 году вместе с семьёй переехал в город Горький.

Окончил Горьковский индустриальный институт (1941).

С 1941 по 1943 год работал на заводе «Красное Сормово» контрольным мастером выпуска танков.

В начале 1943 года создаётся новое подразделение конструкторского бюро завода «Красное Сормово» под названием «Гидролаборатория» (ныне АО “ЦКБ по СПК им. Р.Е.Алексеева”), руководителем которого был назначен Алексеев. 

В 1951 году была начата разработка проекта первого речного пассажирского судна на малопогружённых крыльях, получившего впоследствии имя "Ракета". Первая «Ракета» была представлена в Москве во время Всемирного фестиваля молодёжи и студентов 1957 года. Вслед за ней были созданы и другие типы гражданских судов на подводных крыльях: «Метеор», «Комета» и др. В 1962 году в КБ начались работы над проектом экраноплана «КМ» (корабль-макет), который совершил свой первый полёт 18 октября 1966 года. 

В 1968 году КБ, созданное Алексеевым, разделили на два - по судам на подводных крыльях и по экранопланам. За Алексеевым оставили лишь второе направление.

В 1974 году, из-за аварии опытного образца экраноплана «Орлёнок», Алексеев был снят с должности Главного конструктора экранопланов и понижен до начальника отдела перспективного планирования, но до конца своих дней принимал активное участие в разработках. 

Заслуженный изобретатель РСФСР (22.09.1962).

Лауреат Сталинской премии (1951) - за разработку судов на подводных крыльях.

Лауреат Ленинской премии (1962) - за создание скоростных пассажирских речных судов на подводных крыльях.

Лауреат Государственной премии СССР (1984, посмертно) - за работы по экранопланной тематике, в частности, за проект 904 типа «Орлёнок».

Депутат Верховного Совета РСФСР 6-го созыва (1963-1967) от Горьковской области.

Жил в городе Горьком, похоронен на Бугровском кладбище.

Награды: ордена Октябрьской Революции (1971); «Знак Почёта» (16.07.1949).

Память: в 1982 году его именем названы судно на подводных крыльях. В центре Сормовского района Нижнего Новгорода в честь Алексеева названы: площадь, в начале Юбилейного бульвара установлен памятник Алексееву, на улице Коминтерна установлена памятная звезда, на площади Буревестника расположен «Метеор». Также его именем названа улица в Сормовском районе.

Названа улица в селе Кузнецово городского округа город Чкаловск Нижегородской области, где находилась испытательная база ЦКБ по СПК.

Имя Ростислава Алексеева носит Центральное конструкторское бюро по судам на подводных крыльях (ЦКБ по СПК) в городе Нижнем Новгороде.

Его имя присвоено Нижегородскому государственному техническому университету (02.02.2007), где ему установлен бюст. В 2016 году в честь 100-летия Алексеева на территории университета был установлен памятник-экраноплан.

В Нижегородском районе Нижнего Новгорода, на доме № 24 по улице Минина и на доме № 45/а по улице Ульянова, установлены памятные доски.