Родился в селе Юркино, ныне Лысковского района Нижегородской области. 

1931-1934 - наборщик типографии (г. Лысково Горьковской области).

1934-1939 - диспетчер трамвайного управления (Горький). 

В сентябре 1939 года был призван на срочную службу в Красную Армию. 

Участник Великой Отечественной войны. Окончил курсы младших лейтенантов.

Заместитель командира 243-го отдельного инженерно-сапёрного батальона 66-й инженерно-сапёрной бригады 11-й гвардейской армии, 3-й Белорусский фронт, капитан Фальмонов участвовал в Смоленском сражении, в Московской битве (в оборонительных боях под городами Волоколамск и Истра, в контрнаступлении), в освобождении города Можайска, в боях на Курско-Орловской дуге, в освобождении Брянска, в Белорусской наступательной операции, в боях в Восточной Пруссии, в штурме Кёнигсберга (ныне Калининград).

В июле 1944 года под огнём противника руководил работами по постройке переправ через реку Неман южнее города Каунас (Литва). Обеспечил переправу танков и артиллерии на левый берег реки, что способствовало захвату и удержанию плацдарма. 

Звание Героя Советского Союза присвоено 24 марта 1945 года.

После войны служил в Калининграде и Туркестанском военном округе. Принимал участие в строительстве Каракумского канала и ликвидации последствий ташкентского землетрясения (26.04.1966).

С 1965 года полковник Фальмонов  - в запасе. Работал инженером производственно-планового отдела ремонтно-строительного управления в тресте «Горгаз» (г. Волгоград).  

Жил в Волгограде, похоронен на Димитриевском (Центральном) кладбище.

Награды: ордена Ленина (24.03.1945); Отечественной войны 1-й (11.03.1985) и 2-й (23.08.1943, 08.06.1945) степени; Красной Звезды (11.07.1943, 05.11.1954); медали, в т.ч. «За отвагу» (10.02.1942), «За боевые заслуги» (15.11.1950).

Память: в городе Лысково на здании редакции газеты «Приволжская правда» (ул. Малая Советская, 9), где работал Герой, установлена памятная доска.