Родился в селе Лысково, ныне город, районный центр Нижегородской области, в семье юриста.

В 1923 году переехал в Москву. Стихи писал с 1932 года.
С 1938 года учился на филологическом факультете Московского государственного педагогического института.

В Красную Армию не призывался по состоянию здоровья.
В 1939 году основал неофутуристическое литературное течение «небывализм» и выпустил два машинописных альманаха, за что в 1940 году был исключён из института.
В 1941 году по рекомендации поэта Николая Асеева был принят в Литературный институт, где учился с перерывами до 1946 года.

1942-1944 - работал учителем в селе Чернуха, ныне Арзамасского района Нижегородской области. В послевоенные годы существовал на зарплату носильщика, грузчика, пильщика дров.

Начиная со второй половины 1950-х годов жил литературным трудом. Несмотря на признание таланта Глазкова в профессиональной среде, стихи его длительное время не публиковались из-за полного несоответствия требованиям советской пропаганды и цензуры. Начиная с 1940-х годов, Глазков изготавливал самодельные сборники, ставя на них слово «самсебяиздат», тем самым положив начало такому явлению, как самиздат.

В декабре 1959 года Глазков напечатался в самиздатовском журнале «Синтаксис» Александра Гинзбурга, и это был последний случай его участия в неофициальной литературной жизни.
Начиная с 1957 года, у Глазкова вышло более 10 сборников стихов и переводов, но лучшие его стихи 1930-1950-х годов в эти сборники включены не были, а включённые подвергались значительным цензурным искажениям.

Снялся в эпизодических ролях в кинофильмах «Вольница», «Илья Муромец», «Андрей Рублёв», «Романс о влюблённых».

Жил в Москве, похоронен на Востряковском кладбище.