Родился в городе Баку в семье крестьянина. В годы Гражданской войны - секретарь отдела в ревкоме города Горис, затем в городском отделе комсомола. 

1922-1925 - работал в Ахшабадском и Бакинском городских комитетах РКП(б)/ВКП(б).

1925-1929 - слесарь-инструментальщик на фирме "Азнефть" в городе Баку. Без отрыва от производства окончил Бакинский политехнический институт (1929). 

1929-1930 - инженер, директор Бакинского завода им. С.М. Кирова. 

1931-1932 - управляющий трестом "Нефтемаш" в городе Баку. 

1932-1935 - технический директор и заместитель управляющего объединения бурового и нефтяного машиностроения "Всебурнефтемаш" (г.Москва). 

С 1935 года - начальник отдела нефтяного машиностроения Главгормаша Народного комиссариата тяжелой промышленности СССР. Почти год (1935-1936) находился в командировке в США, изучая технологии нефтедобывающей промышленности. 

С 1936 года - технический директор Московского патронного завода № 32 Народного Комиссариата оборонной промышленности СССР. 

1937-1940 - директор завода № 3 (г.Ульяновск). 

В 1940 году был назначен директором артиллерийского завода № 92 в (г.Горький). 

В исключительно трудных условиях осени 1941 года Елян разработал и осуществил частичную модернизацию предприятия. В результате выпуск орудий в последние месяцы 1941 года резко вырос, а затем непрерывно возрастал до конца войны. Под руководством Еляна на заводе № 92 было внедрено впервые в мире поточное производство артиллерийских орудий. 

Звание Героя Социалистического Труда присвоено 3 июня 1942 года.

Генерал-майор инженерно-артиллерийской службы (18.11.1944).

С 1945 года по совместительству - начальник ОКБМ завода № 92, руководил проектированием диффузных машин для получения обогащенного урана. 

В 1947 году был назначен директором ОКБ-2 на базе Горьковского артиллерийского завода. 

Оно занималось производством оборудования для выпуска ядерных боеприпасов, а позднее - урановых стержней и оборудования для промышленных уран-графитовых и уран-тяжеловодных реакторов.

В мае 1951 года возглавил КБ-1 в Москве (ныне ПАО «НПО «Алмаз» им. академика А.А. Расплетина"). Одновременно был назначен заместителем Министра вооружений СССР.

В 1955 году был объявлен «ставленником разоблаченного врага народа Берии», снят с должности и назначен главным механиком небольшого завода № 12 в городе Электросталь Московской области.

Депутат Верховного Совета РСФСР 2-3 созывов (1947-1955) от Горьковской области.

Лауреат четырёх Сталинских премий (1941, 1943, 1949, 1951). 

Жил в Москве, похоронен на Новодевичьем кладбище.

Награды: ордена Ленина (11.01.1941, 03.06.1942, 05.01.1944, 08.12.1951); Суворова 1-й степени (16.09.1945); Отечественной войны 1-й степени (06.06.1945); Трудового Красного Знамени (08.06.1939, 1949).

Память: в Московском районе Нижнего Новгорода (Сормовское шоссе, 21), около главной проходной Нижегородского машиностроительного завода,  был открыт мемориальный комплекс, в котором установлен бюст А.С. Еляна (07.05.2015).