Родился в Нижнем Новгороде в семье преподавателя богословия - Боголюбова Николая Михайловича. В 1913 году семья переехала в город Киев.

После окончания семилетки самостоятельно занимался математикой и физикой. В 1925 году, когда Боголюбову было 16 лет, малый президиум Укрглавнауки принял решение: «Ввиду феноменальных способностей по математике, считать Н.Н. Боголюбова на положении аспиранта научно-исследовательской кафедры математики в Киеве».

В 19 лет защитил кандидатскую диссертацию, а в 1930 году был удостоен АН УССР учёной степени доктора математики без защиты диссертации.

1934-1959 - работал в Киевском университете (с 1936 года - профессор, в 1936-1941 и 1944-1950 годах - заведующий кафедрой математической физики).

Профессор МГУ им. М.В. Ломоносова с 1943 года (кафедра теоретической физики). В 1953 году был избран заведующим кафедрой теоретической физики МГУ, в 1953-1965 годах - заведующий кафедрой статистической физики и механики МГУ, организатор и заведующий кафедрой квантовой статистики и теории поля физического факультета МГУ с 1966 по 1992 годы.

1950-1953 - возглавлял в Арзамасе-16 (ныне Саров Нижегородской области) математический отдел.

С 1956 года работал в Объединённом институте ядерных исследований (ОИЯИ): директор Лаборатории теоретической физики (1956-1965),  директор ОИЯИ (1965-1988), почётный директор ОИЯИ (1988-1992).

1963-1988 - академик-секретарь Отделения математики АН СССР.

1965-1973 - директор Института теоретической физики АН Украины.

Член-корреспондент АН СССР (04.12.1946). Академик АН СССР (23.10.1953).

Депутат Верховного Совета СССР 7-11-го созывов (1966-1984).

Основные работы посвящены асимптотическим методам нелинейной механики, квантовой теории поля, статистической механике, вариационному исчислению, приближённым методам математического анализа, дифференциальных уравнений и уравнений математической физики, теории устойчивости, теории динамических систем и другим областям теоретической физики.

Дважды Герой Социалистического Труда (13.03.1969, 20.08.1979).

Лауреат Ленинской премии (1958) - за разработку нового метода в КТП и статистической физике, приведшему, в частности, к обоснованию теории сверхтекучести и теории сверхпроводимости.

Лауреат Сталинской премии (1947) - за научные исследования по теории жидкого состояния, обобщённые в монографии «Кинетическая теория жидкостей» (1945).

Лауреат Сталинской премии (1953).

Лауреат Государственной премии СССР (1984) - за цикл работ «Метод ренормализационной группы в теории полей».

Жил в Москве, похоронен на Новодевичьем кладбище.

Награды: ордена Ленина (19.09.1953, 20.08.1959, 29.04.1967, 13.03.1969, 17.09.1975, 20.08.1979); Октябрьской Революции (20.08.1984); Трудового Красного Знамени (23.01.1948, 04.01.1954); «Знак Почёта» (01.10.1944, 04.11.1944).

Память: Нижний Новгород, Нижегородский район, улица Большая Покровская, 37 (Институт филологии и журналистики ННГУ им. Н.И. Лобачевского) - установлен бюст (18.08.1983).